\documentclass[cyan]{elegantnote}
% 导言区
\author{洛白故}
\email{2194521087@qq.com}
\zhtitle{数学}
\entitle{Math}
\version{1.00}
\myquote{工科数学分析下}
\logo{logo.pdf}
\cover{cover.pdf}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,shapes,chains}
\tikzstyle{rect}=[rounded rectangle, draw]%圆角框
% 初始设置
% green color
   \definecolor{main1}{RGB}{210,168,75}
   \definecolor{seco1}{RGB}{9,80,3}
   \definecolor{thid1}{RGB}{0,175,152}
% cyan color
   \definecolor{main2}{RGB}{239,126,30}
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% cyan color
   \definecolor{main3}{RGB}{127,191,51}
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   \definecolor{thid3}{RGB}{180,27,131}
\usepackage{makecell}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\maketitle
% \tableofcontents 生成目录
% \chapter{Elegant Note模板的由来}
% \section{长长的历史，长长的期待}
% \begin{enumerate}
% \item
% \end{enumerate}
%{\color{thid}这章还有这么大空间，忍不住插个图！}

% \begin{figure}[!hbtp]
% \includegraphics[width=0.8\textwidth]{happy.jpg}
% \caption{Happiness,We have it!\label{figur:happy}}
% \end{figure}
% \itemsep=3pt
% \parskip=0pt
%\begin{note}

%\item {\color{main} newdef} 环境，含有一个可选项，编号以章节为单位；
%\item {\color{main}newthem、newlemma、newcorol} 环境，三者颜色一致，但是定理环境编号以章节为单位，引理和推论为全文编号；
%证明类环境，有{\color{main}newproof、note} 环境，特点是，有引导符和引导词，并且证明环境有结束标志。
%示例环境，有{\color{main} example、assumption、conclusion} 环境，三者均以粗体的引导词为开头，字体以灰色，和普通段落格式一致。

% \begin{align*}
% \begin{newdef}[Wiener Process] 新的证明
% \end{newcorol} 新的推论
% \begin{newproof}[XXX] 新的假设
% \begin{conclusion}

% ---------------------------------流程图绘制---------------------------------------
%----------------------------------------------------------------------------------|
%---------------------------------Write as follow----------------------------------|
%----------------------------------------------------------------------------------|
\chapter{多元微分学}
\section{多元函数的极限}
\fcolorbox{blue}{cyan}{%
\textcolor{blue}{蓝色边框+文字，青色背景}}
\subsection{如何证明极限不存在}
\begin{note}
    使用不同的趋近方式，极限不同。通常可以使用直线$y=kx$或者曲线趋近。或者使用{\color{main1}累次极限}
\end{note}
如果不同次序的累次极限存在并且不相等，那么重极限不存在。
\subsection{如何求极限的值}
\begin{note}
    直接带入，换元，或者多元洛必达(注意此时的使用条件)
\end{note}

\section{基本概念}
\subsection{点，点集}
\begin{note}
开区域：所有的点都是内点(开集)，并且两个点可以由D里面的直线连起来(属于一个区域)；闭区域：开区域加上其边界。
\end{note}
\subsection{关系}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth,height=0.2\textwidth]{1.png}
\caption{只需要记住上面能推出来的就行\label{figur:happy}}
\end{figure}

\subsection{偏导数}
\begin{enumerate}
 \item 几何意义,切平面，表示方式$f_{x}(x, y), \quad z_{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial x}$
 \item 高阶偏导，混合偏导
\end{enumerate}

\subsection{全微分}
\[\bigtriangleup z=A\cdot \bigtriangleup x+B\cdot \bigtriangleup y+o(\rho )(\rho=\sqrt[]{\bigtriangleup^2 x+\bigtriangleup^2 y}  \to 0)\]
\begin{note}
   利用这几个概念之间的关系，判断函数在这一点是不是可微。如果上面几个都无法说明，那么就需要使用可微的定义$\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta z-\left(\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y\right)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$是否等于0来判断。以下给出例子：
\end{note}
$f(x,y)=x^2\sin(\frac{1}{x})+y^2\sin(\frac{1}{y})$在$(0,0)$点可微，但是导函数不连续
\begin{newproof}
    \begin{enumerate}
        \item 先计算$\bigtriangleup z=f(\bigtriangleup x+x_0,\bigtriangleup y+y_0)-f(x_0,y_0)=f(\bigtriangleup x,\bigtriangleup y)$
        \item 写出$f'_x(x_0,y_0)\bigtriangleup x+f'_y(x_0,y_0)\bigtriangleup y=-(\bigtriangleup x \sin{\frac{1}{x}}+\bigtriangleup y \sin{\frac{1}{x}})$
        \item 做极限$\lim _{\Delta x \rightarrow 0 \atop \Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta z-\left(\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y\right)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0$所以可微
       \end{enumerate}
\end{newproof}

\subsection{可见的几何含义}
\begin{tabular}{ccc}
   \hline
   连续&曲面连续\\
   偏导数存在&切线存在\\
   可微&切平面存在/曲面光滑\\

   \hline
   \end{tabular}

\section{多元微分法则}

\subsection{链式求导法则}
\begin{align*}
   &z=f(u(x),v(x)),z_x=f'_1u_x+f'_2v_x\\
   &z=f(u(x,y),v(x,y)),z_x=f'_1u'_1+f'_2v'_1
\end{align*}
\begin{note}$z=f(u,x,y)(u=g(x,y),z_x)$是$u=g(x,y)$代入后对x求偏导，$f_x$是不代入对x的偏导\end{note}

\subsection{隐函数存在定理}
\[F(x_1,\cdots,x_n)\text{的偏导在}P_0(x_1,\cdots,x_n)\text{领域内连续,}F(x_1,\cdots,x_n)=0,F'_{x_i}(x_1,\cdots,x_n)\ne0
\]
\[\text{能确定具有连续偏导数的函数}x_i=f(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_n)\text{并且有}\frac{\partial x_i }{\partial x_j}=-\frac{F'_{x_j}}{F'_{x_i}} \]
\begin{note}对于隐函数，有多值函数也有单值函数，只有单值函数可以称为{\color{main2}隐函数存在}，这里所说的
隐函数存在，都是在这个点的某个{\color{main2}领域}\end{note}
\subsection{隐函数方程组的形式}
\begin{note}
  方程组求微分\footnote{【方程组求微分】：$m$个方程$n$个变量可以确定m个方程，$n-m$元的方程}，用新的方程组，使用线性代数知识求解。（雅克比式可以不记，较为复杂）【对于变量和常量，见下面的定义，谁有一阶连续偏导谁就是自变量】
\end{note}
\section{几何应用}
\subsection{曲线}
曲线\footnote{【特殊情况】：此时如果没有x，就把x看做1}$\left\{\begin{array}{l}
   x=\varphi(t) \\
   y=\psi(t) \\
   z=\omega(t)
   \end{array}\right.$在$M(x_0,y_0,z_0)$点的{\color{blue}切向量:}$\vec{T}=\left\{x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right\}$
   {\color{blue}切线方程:}$\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}$
  {\color{blue}法平面:}$x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$
 $x'_{t_0}=F_x(x_0,y_0,z_0),y'_{t_0}=F_y(x_0,y_0,z_0),z'_{t_0}=F_z(x_0,y_0,z_0)$
  \[\text { {\color{red}两个方程确定}  }\left\{\begin{array}{l}
   F(x, y, z)=0 \\
   G(x, y, z)=0
   \end{array}\right.\hspace{2cm}\vec{s}=\vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc}
      i & j & k \\
      F_{x} & F_{y} & F_{z} \\
      G_{x} & G_{y} & G_{z}
      \end{array}\right|\]
      \begin{note}
         这个还可以看成隐函数去计算，此处略去。
      \end{note}
      \subsection{曲面}
      曲面$\left\{\begin{array}{l}
         x=\varphi(t) \\
         y=\psi(t) \\
         z=\omega(t)
         \end{array}\right.$在$M(x_0,y_0,z_0)$点的{\color{blue}法向量:}$\vec{T}=\left\{x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right\}$
         {\color{blue}法线方程:}$\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}$
        {\color{blue}切平面:}$x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0$
       $x'_{t_0}=F_x(x_0,y_0,z_0),y'_{t_0}=F_y(x_0,y_0,z_0),z'_{t_0}=F_z(x_0,y_0,z_0)$
\section{方向导数和梯度}
\subsection{方向导数}
几何意义$\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_{0}}=\lim _{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ \Delta x \rightarrow 0}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\tan \varphi$
【半切线关于射线的斜率】
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.75\textwidth,height=0.15\textwidth]{方向导数.png}
\caption{方向导数计算方法（以上方法可以推广到n维）\label{figur:happy}}
{\color{blue}【1、如果可微，沿各个方向方向导数存在】}
{\color{red}【2、梯度的计算公式和求导一样】}
\end{figure}


\subsection{梯度}
模是最大的方向导数，方向是增加最快的方向。
$\operatorname{gradf}=\left\{f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right\}$
  \section{多元函数的极值和最值}
  \begin{figure}[h]
   \centering
   \includegraphics[width=0.75\textwidth,height=0.15\textwidth]{2.png}\end{figure}

\subsection{条件极值与拉格朗日数乘法}
对于函数$F(x,y,z)$
\begin{equation*}
\begin{aligned}
      &\text { (1) 构造辅助函数 } F(x, y, z, \lambda, \mu)=f(x, y, z)+\lambda \varphi(x, y, z)+\mu \psi(x, y, z) \text {, }\\
      &\text{其中}\left\{\begin{array}{l}
         \varphi(x, y, z)=0, \\
         \psi(x, y, z)=0
         \end{array}\right.\text{求解方程组}\left\{\begin{array}{l}
            F_{x}^{\prime}=f_{x}^{\prime}+\lambda \varphi_{x}^{\prime}+\mu \psi_{x}^{\prime}=0 \\
            F_{y}^{\prime}=f_{y}^{\prime}+\lambda \varphi_{y}^{\prime}+\mu \psi_{y}^{\prime}=0 \\
            F_{z}^{\prime}=f_{z}^{\prime}+\lambda \varphi_{z}^{\prime}+\mu \psi_{z}^{\prime}=0 \\
            F_{\lambda }^{\prime}=\varphi(x, y, z)=0 \\
            F_{\mu }^{\prime}=\phi(x, y, z)=0
            \end{array}\right.
   \end{aligned}
\end{equation*} 
把上面方程组的解作为备选点，如果存在最值，最小为最小值，最大为最大值。
\section{例题}
\[ f(x, y)  \text{有一阶连续偏导数, 且}  f\left(x, x^{2}\right)=1, f_{x}\left(x, x^{2}\right)=x \text{求} f_{y}\left(x, x^{2}\right) . \]
\begin{note}
  两边对x求导，整理即可。
 \end{note}
\chapter{重积分}
\section{二维重积分}
\sunsection{二重积分的性质}

\end{document}